Математики опровергли теорию о двухъярусной кровати.

Препринт статьи опубликован в электронном архиве arXiv.org. Гипотеза о двухъярусной кровати относится к теории перколяции — области математики, исследующей появление связанных структур в случайных средах. В 1980-х годах ее выдвинул голландский физик Питер Кастелейн, который стремился математически описать, как жидкости проникают через пористые поверхности, например, как вода заполняет губку.

Гипотеза основывается на случайных соединениях вершин в абстрактном графе, напоминающем двухъярусную кровать. Она утверждает, что вероятность связи между двумя вершинами на одном уровне выше, чем вероятность связи между разными уровнями.

Это утверждение интуитивно кажется верным, однако до недавнего времени не удалось найти убедительное доказательство, подтверждающее или опровергающее его. Скептики полагали, что заявление слишком обобщенное и не может быть истинным во всех случаях.

В математике в основном стремятся найти доказательство истинности утверждения, тогда как работа по его опровержению осуществляется лишь изредка. Однако команда российских математиков — Игорь Пак, Никита Гладков и Александр Зимин — смогла обнаружить контрпример, который опроверг гипотезу.

«На самом деле, с двухъярусной кроватью мы с моим другом и коллегой Никитой Гладковым познакомились еще на первом курсе Вышки. Мы жили в одной комнате общежития, и у нас стояла именно та самая двухъярусная кровать, — шутит Александр Зимин. — В случае с гипотезой о двухъярусной кровати мы понимали, что она верна для большинства случаев, но нас интересовал вопрос, существуют ли редкие случаи, когда она была бы ложной».

Сначала команда пыталась найти контрпример с использованием методов машинного обучения. Исследователи обучили нейросеть для поиска возможных связей в графах и пытались перебрать все варианты. Однако для графов с более чем девятью вершинами количество возможных вариантов связей быстро увеличивалось, и масштаб задачи превышал возможности анализа. Доказательство не было найдено.

После этого они адаптировали методы гиперграфов, для которых уже существовало опровержение гипотезы двухъярусной кровати, к классическим графам и построили очень сложную структуру, содержащую тысячи вершин и ребер. В получившемся графе вероятность связи между верхним и нижним уровнями оказалась немного выше, чем вероятность связи на нижнем уровне, что и позволило опровергнуть гипотезу.

«Мы с соавторами, Игорем Паком и Никитой Гладковым, которые сейчас работают в UCLA, отлично дополняли друг друга в этой задаче. Я предпочитаю использовать численные методы. По моему мнению, чтобы хорошо понять задачу, нужно уметь ее запрограммировать и объяснить компьютеру. А вот Никита считает иначе и предпочитает опираться на более абстрактный, интуитивный уровень», — рассказывает один из авторов статьи, аспирант факультета математики НИУ ВШЭ Александр Зимин.

«Гипотезу долгое время не могли опровергнуть. Или не хотели, ведь она была красивой и элегантной. Однако, на мой взгляд, опровержение не разрушает эту красоту, а наоборот, подтверждает, что мир гораздо интереснее и сложнее, чем мы предполагали», — считает Александр Зимин.

Обнаруженный контрпример ставит перед наукой фундаментальные вопросы о том, можно ли полагаться на интуицию, насколько важен критический подход в математике, а также о интерпретации доказательств, основанных на вероятностных данных.