Теория Шуберта, выпуклая геометрия и решение сложных задач: интервью с Валентиной Кириченко.

— Если взглянуть на ленту научных новостей, легко заметить, что в определённые времена появляются модные темы. То, что привлекает внимание, на что проще получить гранты и так далее. Однако с математикой ситуация иная. Она остаётся закрытой системой, которую можно понять лишь изнутри. Есть ли модные направления в математике? И что актуально в вашей области — алгебраической геометрии? Кто сегодня считается звездой?

— Я занимаюсь вопросами, связанными с выпуклой геометрией — многогранниками и всем, что можно потрогать. Это направление возникло из торической геометрии, но сейчас это гораздо более широкая область. Одним из таких современных титанов является Андрей Окуньков. Существует даже понятие «выпуклое тело Ньютона — Окунькова».

— Неплохое соавторство.

— На самом деле у Ньютона были многогранники, а Окуньков развил эту область в наши дни. И сейчас это действительно довольно модная наука. Мне нравится, что можно преобразовать достаточно абстрактные результаты алгебраической геометрии в термины выпуклой геометрии. Например, сколько целых точек находится в многоугольнике? Оказывается, это связано с некоторой алгебраической кривой, что не так просто объяснить. Но в то же время целые точки в многоугольнике и формулы Пика можно объяснить даже школьникам.

— Какие нерешенные задачи вас интересуют?

— Я занимаюсь не столько классической алгебраической геометрией, сколько её пересечением с теорией представлений. Существуют алгебраические объекты с большой внутренней симметрией. Это называется «исчисление Шуберта», и это тоже очень актуальная тема благодаря своей многогранности. Здесь присутствует комбинаторика, которой могут заниматься люди, совсем далекие от алгебраической геометрии и её представлений. Там много интересного, множество открытых задач. Мне очень нравится брать эти задачи и пытаться переосмыслять их через выпуклую геометрию, искать более явные и красивые решения.

— Какие именно задачи, и в чем основная сложность в поиске решений?

— В XIX веке жил Герман Шуберт — и это не композитор. «Берлиоз — не композитор», как говорил Булгаков. Шуберт был школьным учителем и при этом известным математиком. Ему очень нравился Гамбург, где тогда ещё не было университета, и он преподавал математику в гимназии, будучи уже всемирно известным учёным. В наше время сложно представить, что школьный учитель публиковал научные статьи, которые знали во всем мире. У него была известная монография «Исчисление исчислительной геометрии» («Kalkül der abzählenden Geometrie»). Он решал разные задачи почти с помощью черной магии. Например, такая задача: даны четыре попарно пересекающиеся прямые в трехмерном пространстве. Сколько прямых пересекает все четыре? Сразу даже невозможно представить, может ли такое вообще быть — какие-то четыре прямые, а нам нужна одна, которая пересекает все четыре. Интересно, что недавно эту задачу использовали физики-экспериментаторы. Им реально понадобилось уравнение прямой, которая пересекает все четыре.

— Что это был за эксперимент?

— Есть такая машина – ХАДЕС (англ. High Acceptance Di-Electron Spectrometer), то есть почти Аид из древнегреческой мифологии. Это спектрометр, который находится в Дармштадте. Немецкие физики в коллаборации с нашими учеными из Дубны обрабатывали результаты, которые приносит эта машина. Физически у них в установке висит частица, а датчики пытаются определить её траекторию, предполагая, что она летела по прямой. Они брали два датчика, проводили уравнение прямой, записывали и смотрели, попадает ли частица или нет. Этот процесс очень долгий, чтобы просчитать все траектории за месяц на современном компьютере уйдет лет десять. Они поняли, что нужно рассматривать четыре датчика, воспользовавшись тем, что это не точки, а отрезки прямых. То есть по данным четырем прямым им нужно было написать уравнение прямой, пересекающей эти данные. И они тут же сделали какую-то инсталляцию! В качестве образца они мысленно взяли козлы, на которых дрова пилят. На четыре бревна всегда можно положить пятое, и оно точно ляжет, коснётся всех четырёх, и его можно будет пилить. Они всё это открыли сами, а потом увидели мою статью про исчисление Шуберта и обратились ко мне как к главному русскоязычному эксперту по этой теме. У Шуберта был метод, который позволял точно сказать, сколько таких прямых будет.

— А в чем здесь была его черная магия?

— Это самая простая задача, были и посложнее. Допустим, на плоскости нарисовано три окружности, сколько окружностей коснётся всех трёх? Шуберт получил ответ на эту задачу! А среди прочего Шуберт решил задачу, ответом в которой было девятизначное число! И он был совершенно верный! Как пишут современные алгебраические геометры, это как если бы человек вслепую посадил огромный самолет и приземлил его точно на полосу. То есть Шуберт разработал метод, но у него, с современной точки зрения, не было никакого обоснования. Метод исчисления Шуберта — это реально черная магия без возможности обоснования.

— Это очень интересно, потому что, если возвращаться к физикам, раньше считалось, что теоретическая физика дает много идей математике. А сейчас это как будто не столь очевидно.

— Да! Но интересно, что обычно математики взаимодействуют с теоретиками-физиками, а здесь физики-экспериментаторы. Всегда интересно, насколько твои задачи применимы к нашей Вселенной. Может быть, это какие-то абстрактные теории, у которых нет применения. Так что здорово, когда физики берут это и применяют, и реально этим методом они обработали очень много вычислений. А иначе они просто не справились бы!

— Если говорить о связи реальной Вселенной и алгебраической геометрии, то на ум сразу приходит GPS и подобные системы. Но может быть, есть что-то еще не столь очевидное?

— Исчисление Шуберта стало популярным в XIX веке, но затем интерес к нему как-то угас. У Гильберта в одной из его проблем под номером 15 стояла задача обосновать исчисление Шуберта. И как-то, худо-бедно, его обосновали, но не всё. Есть задачи, которые до сих пор не обоснованы современными методами. Решили, что в целом обосновали и всё, отложили, забыли. А потом через сто лет оказалось, что все эти абстрактные вычисления нужны теоретической физике. Причём интересно, что математики что-то пытались посчитать и не смогли. Они дошли до какого-то предела, и тут наша наука сказала, что всё, она больше не может. А физики посчитали дальше. И здесь помогла теория струн. Можно верить в неё или нет, но для математики она очень интересна, так как решает чисто математические задачи совершенно не математическими методами.

— Сегодня в России есть несколько вузов, куда стоят в очереди студенты, мечтающие изучать математику. Мне казалось, что всегда таким топовым местом был мехмат МГУ, но в 90-е годы, после крутой математической школы, вы туда не пошли. Почему?

— В лихие 1990-е стало возможным учиться в негосударственных учебных заведениях. Это казалось немного рискованным, но вроде как можно. Интересно, что тогда на мехмат МГУ не было вообще никакого конкурса, то есть учись — не хочу. Народ шёл на экономический, психологический, юридический факультеты. Туда было просто невозможно пробиться. А вот на мехмат