Теорія Шуберта, випукла геометрія та шлях до розв'язання складних задач. Інтерв'ю з Валентиною Кириченко.

— Якщо подивитися на стрічку наукових новин, завжди можна зрозуміти, що сьогодні, умовно кажучи, модно. Що привертає увагу, на що, наприклад, простіше отримати гранти і так далі. А от з математикою не так. Вона залишається закритою системою, зрозуміти яку можна тільки зсередини. Чи є в математиці мода? І що модно у вашій області – в алгебраїчній геометрії? Хто, може, вважається сьогодні зіркою?

— Я займаюся речами, які пов’язані з випуклою геометрією — з многогранниками і всім, що можна потрогати. Саме напрямок виросло з торичної геометрії, але зараз це вже набагато більш широка область. І один з таких титанів сучасності — це Андрій Окунков. Навіть є таке поняття, як «випукле тіло Ньютона — Окункова».

— Непогане співробітництво.

— Насправді у Ньютона були многогранники, а Окунков розвинув цю область в наші дні. І зараз це дійсно досить модна наука. Мені подобається те, що можна досить абстрактні результати алгебраїчної геометрії переформулювати в термінах випуклої геометрії. Наприклад, скільки цілих точок у многоугольнику? Це, виявляється, родина певної алгебраїчної кривої, що не так просто пояснити. Але одночасно цілі точки в многоугольнику і формули Піка можна пояснювати навіть школярам.

— А які нерозв’язані задачі вам цікаві?

— Я займаюся не стільки класичною алгебраїчною геометрією, скільки її перетином з теорією подань. Є такі алгебраїчні об’єкти з великою внутрішньою симетрією. Це називається «обчислення Шуберта», і це теж дуже модна тема завдяки її багатогранності. Там є і комбинаторика, якою можуть займатися люди, зовсім далекі від алгебраїчної геометрії та її подань. Там також багато цікавого, багато різних відкритих задач. Мені дуже подобається брати всі ці задачі і намагатися їх переосмислити через випуклу геометрію, шукати більш явне красиве рішення.

— А які саме задачі, у чому основна складність у пошуку рішення?

— Був такий Герман Шуберт — і це не композитор. «Берліоз — не композитор», як це було у Булгакова. Герман Шуберт жив у XIX столітті, він був шкільним учителем і при цьому ще іменитим математиком. Йому дуже подобався Гамбург, в якому тоді ще не було університету, і він викладав математику в гімназії, будучи вже всесвітньо відомим ученим. У наш час складно уявити, щоб шкільний учитель публікував наукові статті, які знав би увесь світ. У нього навіть була дуже відома монографія «Обчислення обчислювальної геометрії» («Kalkül der abzählenden Geometrie»). В загальному, він вирішував різні задачі майже з допомогою чорної магії. Наприклад, така задача: дано чотири попарно перетинаючі прямі в тривимірному просторі. Скільки прямих перетинає всі чотири? Зразу навіть неможливо уявити, чи може таке взагалі бути — якісь чотири прямі, а нам потрібна одна, яка через всі пройде. Тим більше цікаво, що нещодавно цю задачу використовували фізики-експериментатори. От їм реально знадобилося рівняння прямої, яка перетинає всі чотири.

— Що це був за експеримент?

— Є така машина – ХАДЕС (англ. High Acceptance Di-Electron Spectrometer), тобто майже Аїд з давньогрецької міфології. Це спектрометр, який знаходиться в Дармштадті. І ось німецькі фізики в колаборації з нашими науковцями з Дубни обсчитывали результати, які приносить ця машина. Фізично у них в установці висить частинка, а датчики намагаються визначити її траєкторію при припущенні, що вона летіла по прямій. Вони брали два датчики, проводили рівняння прямої, писали і дивилися, потрапляє частинка чи не потрапляє. Цей процес дуже довгий, щоб просчитати всі траєкторії за місяць на сучасному комп’ютері знадобиться років десять. Вони зрозуміли, що потрібно розглядати чотири датчика, скориставшись тим, що це не точки, а саме відрізки прямих. Так що по даним чотирьох прямих їм потрібно було написати рівняння прямої, що перетинає дані. І вони відразу зробили якусь інсталяцію! За зразок вони взяли козли, на яких дрова пилять. На чотири колоди завжди можна покласти п’яту, і вона точно ляже, коснеться всіх чотирьох, і її можна буде пилити. Вони все це відкрили самі, а потім побачили мою статтю про обчислення Шуберта і звернулися до мене, як до головного російськомовного експерта з цієї теми. У Шуберта був метод, який дозволяв точно сказати, скільки таких прямих буде.

— А в чому тут була його чорна магія?

— Ну, це найпростіша задача, були і складніше. Припустімо, на площині намальовано три окружності, скільки окружностей торкнеться всіх трьох? Шуберт отримав відповідь на цю задачу! А серед іншого Шуберт вирішив задачу, відповіддю в якій було дев’ятизначне число! І він був абсолютно вірний! Як пишуть сучасні алгебраїчні геометри, це як якщо б людина всліпу сажала величезний літак і посадила його точно на смугу. Тобто Шуберт розробив метод, але у нього, з сучасної точки зору, не було ніякого обґрунтування. Метод обчислення Шуберта — це реально чорна магія без можливості обґрунтування.

— Це дуже цікаво, тому що, якщо повертатися до фізиків, раніше вважалося, що математиці багато ідей дає теоретична фізика. А зараз це якось не так очевидно.

— Так! Але цікаво, що зазвичай математики контактують з фізиками-теоретиками, а тут фізики-експериментатори. Адже завжди цікаво, наскільки твої задачі взагалі застосовні до нашої Всесвіту. Можливо, це якісь абстрактні теорії, у яких немає застосування. Так що здорово, коли фізики беруть це і застосовують, і реально цим методом вони обробили дуже багато обчислень. А так би вони просто не впоралися!

— Якщо продовжувати зв’язок реальної Всесвіту і алгебраїчної геометрії, то на думку одразу приходить GPS і всякі подібні системи. Але може бути є ще щось не таке очевидне?

— Обчис